Ejercicios de reglas de inferencia

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Ejercicios der reglas de inferencia.

Ejemplo 1:

Demostrar que la siguiente conclusión es válida:

Si vamos a Margarita, entonces gastaremos mucho dinero. Si vamos al páramo sufriremos, por el frío. Pero vamos a Margarita o vamos al páramo. Por consiguiente gastaremos dinero o sufriremos por el frío.

Solución:

Para esto, asignamos letras a las proposiciones dadas en el enunciado:

\( m : \) "Vamos a Margarita".
\( g : \) "Gastaremos mucho dinero".
\( p : \) "Vamos al páramo".
\( f : \) "Sufriremos mucho frío".

Entonces el enunciado del problema se refleja taquigráficamente así:

1) \( m \rightarrow g \)
2) \( p \rightarrow f \)
3) \(m ∨ p\)
____________
    \(g ∨ f\)

Para resolver este problema, escribimos las premisas encima de una línea y debajo de está comenzamos a colocar las conclusiones parciales, así:

1) \( m \rightarrow g \)
2) \( p \rightarrow f \)
3) \(m ∨ p\)
____________
4) \( m \)              Caso 1 en 3)
5) \( g \)                De 1) y 4) y Modus ponendo ponens
6) \(g ∨ f\)        Por 5) y la Ley de adición.

Ahora consideramos el otro caso:

1) \( m \rightarrow g \)
2) \( p \rightarrow f \)
3) \(m ∨ p\)
____________
7) \( p \)                Caso 2 en 3)
8) \( f \)                De 2) y 7) y Modus ponendo ponens
6) \(g ∨ f\)        Por 8) y la Ley de adición y propiedad conmutativa.

Ejemplo 2:

Demostrar que la siguiente conclusión es válida:

Si hoy es sábado entonces mañana es domingo. Si hoy es martes entonces mañana no es domingo. Hoy es martes. Por consiguiente, hoy no es sábado.

Solución:

Para esto, asignamos letras a las proposiciones dadas en el enunciado:

\( s : \) "Hoy es sábado".
\( d : \) "Mañana es domingo".
\( m : \) "Hoy es martes".

Entonces el enunciado del problema se refleja taquigráficamente así:

1) \( s \rightarrow d \)
2) \( m \rightarrow \neg d \)
3) \( m \)
4) \( \therefore \neg s \)

Para resolver este problema, escribimos las premisas encima de una línea y debajo de está comenzamos a colocar las conclusiones parciales, así:

1) \( s \rightarrow d \)
2) \( m \rightarrow \neg d \)
3) \( m \)
____________
4) \( \neg d \)                 De 2) y 3) y Modus Ponendo Ponens
5) \( \neg s \)                 De 1) y 4) y Modus Tollendo Tollens

Ejemplo 3:

Demostrar que la siguiente conclusión es válida:

Si me gradúo y encuentro un trabajo, entonces ganaré dinero. Si gano dinero, entonces ayudaría a mi familia. No ayudo a mi familia. Por lo tanto, no me gradué o no encontré trabajo.

Solución:

Para esto, asignamos letras a las proposiciones dadas en el enunciado:

\( g : \) "Me gradúo".
\( t : \) "Encuentro un trabajo".
\( d : \) "Ganaré dinero".
\( h : \) "Ayudaría a mi familia".

Entonces el enunciado del problema se refleja taquigráficamente así:

1) \( g \wedge t \rightarrow d \)
2) \( d \rightarrow h \)
3) \( \neg h \)
4) \( \therefore \neg g \vee \neg t \)

Para resolver este problema, escribimos las premisas encima de una línea y debajo de está comenzamos a colocar las conclusiones parciales, así:

1) \( g \wedge t \rightarrow d \)
2) \( d \rightarrow h \)
3) \( \neg h \)
____________
4) \( \neg d \)              De 2) y 3) y Modus Tollendo Tollens
5) \( \neg (g \wedge t) \)    De 4) y 1) y Modus Tollendo Tollens
6) \( \neg g \vee \neg t \)     De 5) y ley de De Morgan.

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