Tablas de verdad
Tablas de verdad
Como vimos anteriormente, las tablas de verdad son una distribución de los valores lógicos de los conectivos lógicos.
Para tener en claro los valores lógicos de las proposiciones compuestas complejas, debemos conocer el rango de las operaciones de los conectivos lógicos.
Los numeraremos del 1 al 5, siendo el 1 el mayor rango y el 5 el menor.
Tabla de rango de los conectivos lógicos
| Nombre | Conectivo | Rango |
|---|---|---|
| Bicondicional | \(\leftrightarrow\) | 1 |
| Condicional | \(\rightarrow\) | 2 |
| Conjunción / Disyunción / Disyunción exclusiva | \(\land / \vee / \underline{\vee}\) | 3 |
| Negación | \(\neg\) | 4 |
Al realizar las operaciones lógicas, la primera que se ejecuta es la de menor rango.
Por ejemplo, para hacer la tabla de verdad de \( p \rightarrow ( p \vee q ) \), hacemos la siguiente tabla:
Comenzamos colocando todas las combinaciones posibles de los valores lógicos:
| \(p\) | \(\rightarrow\) | \(p\) | \(\vee\) | \(q\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | ||
| 1 | 1 | 0 | ||
| 0 | 0 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 |
Observamos que el conectivo de menor rango es la disyunción \(\vee\), así que lo ejecutamos primero.
Ahora, vamos a hacer la misma tabla, pero con los valores de la disyunción. Es decir, vamos a colocar los valores \(1, 1, 1, 0\) en la cuarta columna debajo del símbolo de la disyunción.
| \(p\) | \(\rightarrow\) | \(p\) | \(\vee\) | \(q\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 | 0 | |
| 0 | 0 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
Finalmente, colocamos los valores lógicos para \( \rightarrow \) (el condicional).
| \(p\) | \(\rightarrow\) | \(p\) | \(\vee\) | \(q\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
Los valores finales o los valores lógicos finales en la tabla son los que se encuentran en azul.
Así vemos que la proposición \( p \rightarrow (p \vee q) \) siempre es cierta para cualquier par de proposiciones \( p \) y \( q \).
Si quisiéramos darle más rango a \(\vee\) por encima de \(\rightarrow\) debemos colocar paréntesis así: \(( p \rightarrow q ) \vee q \).
Recuerda que \( p \) y \( q \) son proposiciones. Ahora sí, para ejecutar \(\rightarrow\) primero.
Igual que en el ejemplo anterior, damos todos los valores lógicos a \( p \) y \( q \) y nos queda la siguiente tabla:
| \((\) | \(p\) | \(\rightarrow\) | \(q\) | \()\) | \(\vee\) | \(q\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | ||
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
En el caso en el que tenemos tres proposiciones o más, debemos tener en cuenta la cantidad de proposiciones.
Supongamos que la cantidad de proposiciones es \( n \). Elevamos \( 2 \) a la \( n-1 \).
Colocamos para la primera proposición \( 2^{n-1} \) unos y luego \( 2^{n-1} \) ceros alternados.
Luego colocamos la mitad de esto para la segunda proposición, es decir, la mitad de unos y la mitad de ceros alternados. Para la siguiente proposición, colocamos la mitad de la mitad y así hasta que terminemos con la última proposición.
Por ejemplo, si queremos determinar la tabla de verdad de \( p \leftrightarrow ( p \vee q ) \rightarrow r \), debemos tener en cuenta que son tres proposiciones.
Elevamos \( 2^{3-1} = 4 \). Así que colocamos cuatro unos y cuatro ceros para la primera proposición de manera alternada. De igual forma, para la proposición \( q \) vamos a colocar dos unos y dos ceros de forma alternada, y para la proposición \( r \), un 1 y un 0 alternados.
La tabla inicial quedaría así:
| \( p \) | \( \leftrightarrow \) | \( p \) | \( \vee \) | \( q \) | \( \rightarrow \) | \( r \) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | |||
| 1 | 1 | 1 | 0 | |||
| 1 | 1 | 0 | 1 | |||
| 1 | 1 | 0 | 0 | |||
| 0 | 0 | 1 | 1 | |||
| 0 | 0 | 1 | 0 | |||
| 0 | 0 | 0 | 1 | |||
| 0 | 0 | 0 | 0 |
Podemos observar que el conectivo lógico de menor rango es \( \vee \), así que este es el símbolo que vamos a ejecutar primero:
| \( p \) | \( \leftrightarrow \) | \( p \) | \( \vee \) | \( q \) | \( \rightarrow \) | \( r \) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | ||
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | ||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | ||
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | ||
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | ||
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | ||
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
El colectivo de menor rango es \( \rightarrow \):
| \( p \) | \( \leftrightarrow \) | \( p \) | \( \vee \) | \( q \) | \( \rightarrow \) | \( r \) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 11 | |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
Finalmente, colocamos los valores lógicos de \(\leftrightarrow\):
| \( p \) | \( \leftrightarrow \) | \( p \) | \( \vee \) | \( q \) | \( \rightarrow \) | \( r \) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
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