Proposición

Definición 1.7: Bicondicional

Dadas las proposiciones \( p \) y \( q \), el bicondicional de \( p \) con \( q \) es la proposición \( p \leftrightarrow q \), que se lee "p si y solo si q".

La tabla de verdad para el bicondicional es la siguiente:

\( p \)	\( q \)	\( p \leftrightarrow q \)
1	1	1
0	0	1
1	0	0
0	1	0

El valor lógico de \( p \leftrightarrow q \) se calcula con la siguiente fórmula:

\( V(p \leftrightarrow q) = 1 + 2 \cdot V(p) \cdot V(q) - V(p) - V(q) \)

Ejemplo:

Dadas las proposiciones:

• \( p \): "La tierra es redonda"
• \( q \): "El agua es azul"

Entonces \( p \leftrightarrow q \) es: "La tierra es redonda si y solo si el agua es azul".

Para calcular el valor lógico de \( p \leftrightarrow q \), usamos la fórmula:

\( V(p \leftrightarrow q) = 1 + 2 \cdot V(p) \cdot V(q) - V(p) - V(q) \)

Evaluamos el valor lógico de cada proposición:

• El valor lógico de \( p \) ("La tierra es redonda") es 1, ya que es verdadera.
• El valor lógico de \( q \) ("El agua es azul") es 1, ya que es verdadera.

Aplicando la fórmula:

\( V(p \leftrightarrow q) = 1 + 2 \cdot 1 \cdot 1 - 1 - 1 = 1 + 2 - 1 - 1 = 1 \)

El valor de verdad de \( p \leftrightarrow q \) es 1, ya que ambas proposiciones son verdaderas.

Definición 1.8:

Disyunción Exclusiva:

Dadas las proposiciones \( p \) y \( q \), la disyunción exclusiva de \( p \) con \( q \) es la proposición \( p \underline{\vee} q \), que se lee "o p o q".

Esto significa que p o q pueden darse, pero no simultáneamente. Por eso lo de "exclusiva".

La tabla de verdad para la disyunción exclusiva es la siguiente:

\( p \)	\( q \)	\( p \underline{\vee} q \)
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Ejemplo:

Dadas las proposiciones:

• \( p \): "La tierra gira alrededor del sol"
• \( q \): "Los humanos pueden volar sin ayuda de máquinas"

Entonces, \( p \underline{\vee} q \): "O la tierra gira alrededor del sol o los humanos pueden volar sin ayuda de máquinas".

El valor lógico de \( p \underline{\vee} q \) se puede calcular con la fórmula:

\( V(p \underline{\vee} q) = V(p) + V(q) -2 V(p) \cdot V(q) \)

Según la fórmula anterior, para calcular el valor lógico de \( p \underline{\vee} q \), debemos obtener el valor lógico de \( p \), el de \( q \), y luego aplicar la fórmula. Por ejemplo, si tenemos que:

• \( V(p) = 1 \) (verdadero, "La tierra gira alrededor del sol")
• \( V(q) = 0 \) (falso, "Los humanos pueden volar sin ayuda de máquinas")

Entonces:

\[ V(p \underline{\vee} q) = 1 + 0 - 2 \cdot 1 \cdot 0 = 1 \]

Esto nos dice que el valor lógico de la disyunción exclusiva \( p \underline{\vee} q \) es verdadero en este caso.